
\documentclass[a4paper,oneside]{article}
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\begin{document}

Eine Tonquelle, die sich mit einer Geschwindigkeit v auf einer
Geraden im Abstand d von dem/der BetrachterIn bewegt, hat relativ zu diesem/r
in Normalrichtung (gestrichelte Linie) eine Geschwindigkeitskomponente $v_{rel}$

$$v_{rel} = v * sin(\phi)$$

bzw nach umwandlung in die Zeitdom\"ane (wobei Zeitpunkt 0 willk\"urlich
als der Zeitpunkt gew\"ahlt wurde, zu dem die Distanz minimal ist)

$$v_{rel} = v * (1 - sin ( atan (\frac{t}{d})))$$
\vskip3cm 

\hskip2cm \input{Diagram1}
\vskip2cm

\input{plot}

abh\"angig von $v_{rel}$ kann nun die absolute Tonh\"ohenverschiebung berechnet 
werden, diese ist $\frac{v_{Schall} + v_{rel}}{v_{Schall}}$. Mit $v_{Schall} = 330 m/s$
und eine angenommenen (Orts)geschwindikeit von 50 km/h
$v_{abs} = max(v_{rel}) = 50 km/h = 50 \frac{1000 m}{3600 s} = \frac{50}{3.6} 
m/s \approx 16.7 m/s$ 
ergibt sich eine Verschiebung von 
$\frac{330 + \frac{50}{3.6}}{330} \approx 1.05$ (bzw 0.95 bei Entfernung),
das Entspricht auch der maximalen Tonh\"ohen\"anderung.

Um dies auf die bei MIDI zwingend notwendigen Halbtonschritte umzurechnen, ist
noch das Ausmass eines solchen zu berechnen. Eine volle Oktav bedeutet ein
Tonh\"ohenverh\"altnis $1:2$, da eine Oktave 12 Halbt\"one umfasst, ist
die Schrittweite zwischen zwei Halbt\"onen also 
$1:2^\frac{1}{12} \approx 1 : 1.0594630943593$. Dies entspricht ungef\"ahr
der oben berechneten Verschiebung bei Ortsgeschwindigkeit, eine
Einstellung des Pitch Bend auf $\pm$ 1 Halbtonschritt ist also
angebracht.

\end{document}
